Для решения задачи давайте сначала определим, сколько воды выпивает каждый из них за один день.

• Пусть объем одной бочки воды равен 1.

Теперь определим, сколько воды выпивает каждый из них:

• Если он выпивает одну бочку за 14 дней, то за один день он выпивает:
• 1 бочка / 14 дней = 1/14 бочки в день.
• Если они вместе с женой выпивают одну бочку за 10 дней, то за один день они выпивают:
• 1 бочка / 10 дней = 1/10 бочки в день.

Теперь обозначим, сколько воды выпивает жена за один день, как x. Тогда у нас есть следующая система уравнений:

• Он: 1/14 бочки в день.
• Она: x бочки в день.
• Вместе: 1/10 бочки в день.

Составим уравнение для их совместного расхода воды:

1/14 + x = 1/10

Теперь решим это уравнение для x:

• Сначала найдем общий знаменатель для дробей 14 и 10. Общий знаменатель будет 70.
• Переписываем дроби с общим знаменателем:
• 1/14 = 5/70
• 1/10 = 7/70
• Теперь подставим в уравнение:
• 5/70 + x = 7/70
• Теперь найдем x:
• x = 7/70 - 5/70 = 2/70 = 1/35

Таким образом, жена выпивает 1/35 бочки воды в день.

Теперь мы знаем, что:

• Он выпивает 1/14 бочки в день.
• Она выпивает 1/35 бочки в день.

Теперь сложим их расход:

• 1/14 + 1/35.

Для сложения дробей снова найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для 14 и 35 будет 70.

• 1/14 = 5/70
• 1/35 = 2/70

Теперь можем сложить:

• 5/70 + 2/70 = 7/70 = 1/10.

Таким образом, вместе они выпивают 1/10 бочки в день. Теперь, чтобы узнать, сколько дней им потребуется, чтобы выпить одну бочку воды, мы можем взять обратную величину:

• 1 / (1/10) = 10 дней.

Ответ: Им потребуется 10 дней, чтобы выпить одну бочку воды вместе.