В домике кота Леопольда есть 10 мышиных норок. Кот потребовал, чтобы в любых двух норках жили не более пяти мышек. Какое наибольшее количество мышек может жить в доме у кота Леопольда?

1. а) 13
2. б) 20
3. в) 21
4. г) 29
5. д) 30

Математика 7 класс Комбинаторика математика 7 класс задача на максимум комбинаторика кот Леопольд мышиные норки количество мышек условия задачи логическая задача решение задач олимпиадная математика Новый

Давайте разберемся с этой задачей! У нас есть 10 мышиных норок, и кот Леопольд установил правило: в любых двух норках не должно жить более 5 мышек. Это значит, что если мы возьмем любую пару норок, то сумма мышек в этих двух норках не должна превышать 5.

Чтобы понять, какое максимальное количество мышек может жить в доме, давайте проанализируем, как можно распределить мышек по норкам. Если мы обозначим количество мышек в каждой норке как x1, x2, ..., x10, то для любых двух норок xi и xj должно выполняться неравенство:

• x1 + x2 ≤ 5
• x1 + x3 ≤ 5
• x1 + x4 ≤ 5
• ... и так далее для всех пар.

Если мы попробуем распределить мышек равномерно, то давайте предположим, что в каждой норке живет по 3 мышки. В этом случае у нас будет:

• 10 норок * 3 мышки = 30 мышек.

Но давайте проверим, выполняется ли правило кота Леопольда. Если в каждой норке по 3 мышки, то для любых двух норок:

• 3 + 3 = 6, что больше 5!

Это не подходит! Теперь давайте попробуем другое распределение. Если в 5 норках будет по 2 мышки, а в других 5 норках по 1 мышке, то мы получим:

• 5 * 2 + 5 * 1 = 10 + 5 = 15 мышек.

Теперь проверим, выполняется ли правило:

• 2 + 2 = 4 (в пределах 5)
• 2 + 1 = 3 (в пределах 5)
• 1 + 1 = 2 (в пределах 5)

Все пары подходят! Но мы можем попробовать увеличить количество мышек.

Если мы разместим 3 мышки в 5 норках и 2 мышки в 5 других, то:

• 5 * 3 + 5 * 2 = 15 + 10 = 25 мышек.

Но давайте проверим пары:

• 3 + 3 = 6 (не подходит)

Таким образом, максимальное количество, которое мы можем разместить, составляет 20 мышек, если в 4 норках будет по 5 мышек, а в 6 норках по 0 мышек.

Итак, правильный ответ: б) 20!