Похожие темы
Линейная функция и её график.
Линейная функция и её график
Определение линейной функции
Линейная функция — это функция, которая задаётся формулой вида y = kx + b, где k и b — некоторые числа. При этом число k называется угловым коэффициентом, а число b — свободным членом.
График линейной функции представляет собой прямую линию. Для построения графика достаточно найти координаты двух точек, через которые проходит прямая.
Рассмотрим примеры линейных функций:
- y = 2x + 3. Здесь k = 2, b = 3. График этой функции будет проходить через точки (0; 3) и (1; 5).
- y = -x + 4. Здесь k = -1, b = 4. График этой функции будет проходить через точки (0; 4) и (-4; 0).
Свойства линейной функции
- Область определения линейной функции — множество всех действительных чисел R. Это означает, что для любого значения x можно вычислить значение y.
- Если k ≠ 0, то область значений линейной функции также является множеством всех действительных чисел.
- Если b = 0, то графиком линейной функции является прямая, проходящая через начало координат. В этом случае угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox.
- Если k > 0, то угол наклона прямой α острый, и функция возрастает.
- Если k < 0, то угол α тупой, и функция убывает.
- Если k = 0 и b ≠ 0, график линейной функции параллелен оси Ox и проходит через точку (0; b).
- Если k = b = 0, то график функции совпадает с осью Ox.
Примеры задач на линейную функцию
Задача 1. Построить график функции y = x + 2.Решение:
- Найдём две точки, через которые будет проходить график. Пусть x = 0. Тогда y = 0 + 2 = 2. Получаем точку (0; 2). Пусть теперь x = -1. Тогда y = (-1) + 2 = 1. Получаем вторую точку (-1; 1).
- Проведём прямую через эти две точки. Получим график функции y = x + 2.
Ответ: график функции y = x + 2 представляет собой прямую, проходящую через точки (0; 2) и (-1; 1).
Задача 2. Найти значение функции y = 3x - 2, если x = 5.Решение: подставим значение x = 5 в формулу функции: *y(5) = 3 5 - 2 = 15 - 2 = 13**.
Ответ: значение функции при x = 5 равно 13.
Задача 3. Определить, принадлежит ли точка A(2; -3) графику функции y = ½x - 1.Решение: чтобы определить, принадлежит ли данная точка графику функции, нужно подставить координаты точки в уравнение функции. Если равенство выполняется, то точка принадлежит графику. Подставим x = 2 и y = -3: *-3 = ½ 2 - 1, -3 ≠ -1,5. Значит, точка А** не принадлежит графику функции.
Ответ: точка А(2; -3) не принадлежит графику функции y = ½x - 1.
Таким образом, линейная функция является одним из основных понятий алгебры. Она широко используется в различных областях математики, физики, экономики и других наук. Линейная функция имеет простой график, который легко построить. Это делает её удобной для анализа и решения задач.
