Похожие темы
Делимость чисел
Делимость чисел
Делимость чисел – это одно из основных понятий в математике. Оно позволяет определить, на сколько частей можно разделить число без остатка.
В этом учебном материале мы рассмотрим основные понятия и свойства делимости чисел, а также научимся определять, делится ли одно число на другое без остатка.
Основные понятия
Делимое – число, которое делят.
Делитель – число, на которое делят.
Частное – результат деления.
Остаток – часть делимого, которая остаётся после деления.
Полная делимость – когда делимое делится на делитель без остатка. Например, 12 делится на 3 без остатка, поэтому 12 полностью делится на 3.
Неполная делимость – когда в результате деления получается остаток. Например, если 7 разделить на 2, то получится 3 и остаток 1.
Простое число – натуральное число, большее единицы, которое делится только на единицу и на само себя. Например, числа 2, 3, 5, 7, 11, 13 – простые.
Составное число – число, имеющее больше двух делителей. Например, число 4 имеет три делителя: 1, 2 и 4, значит, оно составное.
Взаимно простые числа – числа, у которых нет общих делителей, кроме единицы. Например, числа 3 и 5 взаимно простые.
Наибольший общий делитель (НОД) – наибольшее число, на которое без остатка делятся два или более чисел.
Наименьшее общее кратное (НОК) – наименьшее число, которое делится без остатка на два или более чисел.
Свойства делимости
- Если каждое из двух чисел делится на третье число, то их сумма и разность также делятся на это число.
Пример:
- 15 делится на 5;
- 35 делится на 5.
Сумма 15 и 35, то есть 50, также делится на 5 без остатка. Разность 35 и 15, то есть 20, тоже делится на 5 без остатка.
Это свойство используется при доказательстве делимости суммы и разности двух чисел на определённое число.
- Если одно из двух чисел делится на другое, то и их произведение также делится на это число.
Пример:
- Число 12 делится на 4;
- число 18 делится на 9.
Произведение 12 и 18, то есть 216, также делится и на 4, и на 9 без остатка. Это свойство используется для доказательства делимости произведения двух чисел на определённое число.
- Если число делится на каждое из двух взаимно простых чисел, то оно делится и на их произведение.
Пример:
Число 120 делится на 10 и на 8. Числа 10 и 8 взаимно простые, так как у них нет общих делителей, кроме 1. Поэтому 120 также делится на их произведение – 80.
Эти свойства помогают решать задачи на делимость чисел и доказывать делимость различных выражений.
Признаки делимости
Существует несколько признаков делимости, которые позволяют определить, делится ли число на определённое другое число без остатка:
- На 2 – число делится на 2 без остатка, если его последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6 или 8).
Пример:
- число 26 делится на 2;
- число 78 не делится на 2.
Этот признак позволяет быстро определить, делится ли число на 2 или нет.
- На 3 – число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3.
Пример:
- сумма цифр числа 162 равна 9 (1 + 6 + 2 = 9), 9 делится на 3;
- сумма цифр числа 90 равна 9, 9 также делится на 3.
Оба числа делятся на 3 без остатка. Этот признак помогает быстро определить, делится ли число на 3 или нет.
- На 4 – число делится на 4 без остатка, если две его последние цифры образуют число, которое делится на 4.
Пример:
- число 124 делится на 4 (24 делится на 4);
- число 386 не делится на 4 (86 не делится на 4).
Этот признак также позволяет быстро определить делимость числа на 4 или нет.
Существуют и другие признаки делимости на 5, 6, 9 и 10. Их изучение позволит вам быстрее и проще определять делимость чисел.
Решение задач на делимость
Для решения задач на делимость необходимо использовать свойства и признаки делимости. Рассмотрим несколько примеров задач:
Задача 1. Докажите, что число 630 делится на 7.
Решение:
Так как 63 делится на 7 без остатка (63 : 7 = 9 (ост. 0)), то число 630 также делится на 7 без остатка.
Задача 2. Найдите все делители числа 24.
Решение:
Разложим число 24 на простые множители: 24 = 2 2 2 * 3. Тогда делителями числа 24 будут все числа, которые можно получить, перемножая множители в разложении в различных комбинациях. Получим: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 – все делители числа 24.
Задача 3. Найдите наибольший общий делитель чисел 24 и 36.
Решение:
Разложим числа 24 и 36 на простые множители:
24 = 2 2 2 * 3
36 = 2 2 3 * 3
Общими делителями чисел 24 и 36 являются числа 2, 4 и 6. Наибольший из них – 6. Ответ: НОД(24, 36) = 6.
Таким образом, изучение делимости чисел – важная тема в математике, которая позволяет решать различные задачи и находить общие делители чисел.
