Уравнения с модулем

Модуль и его свойства

В математике модуль числа — это его абсолютная величина. Модуль числа всегда неотрицателен. Это свойство модуля используется при решении уравнений с модулем.

Например, модуль числа 5 равен 5, а модуль числа -5 также равен 5. В обоих случаях модуль даёт положительное число.

Модуль числа обозначается так: |a|, где a — число.

Свойства модуля:

• |a| ≥ 0 для любого a;
• |-a| = |a|.

Уравнения вида |x| = a

Уравнение с модулем вида |x| = a имеет два решения: x = a и x = -a.

Пример: решить уравнение |x| = 3.

Решение:

1. x = 3 или x = -3.
2. Ответ: 3 и -3.

Уравнения вида |f(x)| = a

Для решения уравнения |f(x)| = a нужно найти значения аргумента x, при которых значение функции f(x) равно a или равно -a. Эти значения аргумента и будут решениями уравнения.

Пример: решить уравнение |3x - 1| = 4.

Решение:

1. 3x - 1 = 4 или 3x - 1 = -4.
2. x = 5/3 или x = 1/3.
3. Ответ: 5/3 и 1/3.

Уравнения, содержащие несколько модулей

Если уравнение содержит несколько модулей, то его решение может потребовать более сложных рассуждений.

Пример: решить уравнение |2x + 3| + |x - 5| = 8.

Решение:

1. Найдём корни каждого из модулей:
   • 2x + 3 = 0, откуда x = -3/2;
   • x - 5 = 0, откуда x = 5.

2. Отметим найденные значения на числовой прямой и определим знаки выражений под модулями на каждом из полученных промежутков:

   | -3/2 5 ||-----++-----||-3|---0+---|5||- | | +|

   • На промежутке от -∞ до -3/2 оба выражения под модулями отрицательны, поэтому оба модуля раскрываются со знаком минус:
     • |2x + 3| = -(2x + 3) = -2x - 3,
     • |x - 5| = -(x - 5) = -x + 5.
   • На промежутке от -3/2 до 5 первое выражение под модулем положительно, второе — отрицательно, поэтому первый модуль раскрывается со знаком плюс, второй — со знаком минус:
     • |2x + 3| = 2x + 3,
     • |x - 5| = - (x - 5) = -x + 5.
   • На промежутке от 5 до +∞ оба выражения под модулем положительны, поэтому оба модуля раскрываются со знаком плюс:
     • |2x + 3| = 2x + 3,
     • |x - 5| = x - 5.
3. Запишем исходное уравнение с учётом знаков на каждом промежутке:
   • При x ≤ -3/2: -2x - 3 - x + 5 = 8, откуда x = -7/3;
   • При -3/2 < x < 5: 2x + 3 + x - 5 = 8, откуда x = 4/3;
   • При x ≥ 5: 2x + 3 + x - 5 = 8, откуда решений нет.
4. Ответ: -7/3 и 4/3.

Это лишь некоторые примеры уравнений с модулями. Для их решения могут использоваться разные методы и подходы. Важно понимать свойства модуля и уметь применять их для нахождения решений уравнений.

Вопросы для самопроверки:

• Что такое модуль числа?
• Какие свойства модуля вы знаете?
• Как решить уравнение вида |x| = a?
• Как решить уравнение вида |f(x)| = a?
• Как решать уравнения, содержащие несколько модулей?

Дополнительные примеры и задачи

1. Решить уравнение |3 - 2x| = 7.
2. Решить уравнение |x + 4| = |x - 6|.
3. Решить уравнение 2|x - 4| - |x + 1| = 9.

Ответы:

1. -11/5 и 3/5.
2. 10.
3. 5/2.