Тема: Углы треугольника

Цель урока: изучить свойства углов треугольника и научиться применять их для решения задач.

Задачи урока:

• изучить теорему о сумме углов треугольника;
• рассмотреть виды треугольников в зависимости от величины углов;
• научиться решать задачи на нахождение неизвестных углов треугольника.

План урока:

1. Повторение пройденного материала.
2. Изучение нового материала.
3. Решение задач.
4. Подведение итогов урока.
5. Домашнее задание.

Повторение пройденного материала

Перед тем как перейти к изучению новой темы, необходимо повторить основные понятия и определения, связанные с треугольниками.

Треугольник — это геометрическая фигура, состоящая из трёх точек (вершин), не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков (сторон), соединяющих эти точки.

Стороны треугольника обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C. Вершины треугольника обозначаются соответствующими прописными буквами: A, B, C.

Сумма длин всех сторон треугольника называется его периметром. Периметр обозначается буквой P.

Периметр треугольника ABC можно вычислить по формуле:P = AB + BC + AC.

Также необходимо вспомнить, что такое биссектриса угла. Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.

Изучение нового материала

Теорема о сумме углов треугольника гласит: сумма углов любого треугольника равна 180°.

Доказательство этой теоремы основано на свойствах параллельных прямых. Если провести через одну из вершин треугольника прямую, параллельную противолежащей стороне, то получится два треугольника, у которых углы при основании равны. Сумма углов этих треугольников равна сумме углов исходного треугольника. Поскольку сумма углов каждого из этих двух треугольников равна 180°, то и сумма углов исходного треугольника также равна 180°. Теорема доказана.

Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что в любом треугольнике хотя бы один угол не превышает 60°. Действительно, если бы все углы треугольника были больше 60°, то их сумма была бы больше 180°. Это противоречит теореме о сумме углов треугольника.

В зависимости от вида углов различают следующие виды треугольников:

• остроугольные — все углы меньше 90°;
• прямоугольные — один из углов равен 90°;
• тупоугольные — один из углов больше 90°.

На практике часто приходится решать задачи, в которых известны два угла треугольника и требуется найти третий угол. Для этого можно использовать теорему о сумме углов треугольника. Например, если известны углы A и B треугольника ABC, то можно найти угол C по формуле:C = 180° – (A + B).

Рассмотрим несколько примеров решения таких задач.

Задача 1. В треугольнике ABC известно, что ∠A = 40°, ∠B = 70°. Найдите угол C.Решение:Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°, то угол C можно найти по формуле: C = 180° – (40° + 70°) = 180° – 110° = 70°. Ответ: ∠C = 70°.

Задача 2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC известно, что ∠ABC = 80°. Найдите углы A и C.Решение:Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при его основании равны. Обозначим их за x. Тогда ∠ACB = x, ∠BCA = x. По теореме о сумме углов треугольника получаем уравнение: x + x + 80° = 180°. Отсюда x = 50°. Следовательно, углы A и C равны 50°. Ответ: ∠A = ∠C = 50°.

Решение задач

Для закрепления изученного материала предлагается решить следующие задачи:

Задача 3. В треугольнике ABC известно, что ∠A = 30°, ∠B = 60°. Найдите сторону BC, если сторона AC = 4 см.Решение:По теореме о сумме углов треугольника находим угол C: C = 180° – (30° + 60°) = 90°. Треугольник ABC прямоугольный, поэтому BC можно найти по теореме Пифагора: BC² = AC² + AB². Так как AB = BC, то BC² = 4² + 4², откуда BC = √(16 + 16) = √32 = 4√2. Ответ: BC = 4√2 см.

Задача 4. В равностороннем треугольнике ABC проведена медиана AD. Найдите углы треугольника ABD.Решение:Треугольник ABC равносторонний, поэтому все его углы равны 60°. Медиана AD делит сторону BC пополам, поэтому BD = DC. Треугольник ABD равнобедренный с углом при вершине 60°. Значит, углы при основании AD равны по 30°. Ответ: ∠ABD = 60°, ∠BAD = ∠ADB = 30°.

Подведение итогов урока

Сегодня мы изучили теорему о сумме углов треугольника и научились применять её для нахождения неизвестных углов. Также мы рассмотрели виды треугольников в зависимости от величины их углов. На следующем уроке мы продолжим изучение свойств треугольников.

Домашнее задание

Решить задачи:

1. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна 5 см, а катет BC равен 3 см. Найдите угол A.
2. В треугольнике MNK известно, что MN = NK, ∠MNK = 120°. Найдите стороны MK и MN, если периметр треугольника MNK равен 10 см.