Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается умножением предыдущего на постоянное число q, называемое знаменателем прогрессии. В отличие от арифметической прогрессии, где разность между соседними членами постоянна, в геометрической прогрессии отношение любых двух последовательных членов является постоянным.

Формула общего члена геометрической прогрессии выглядит следующим образом: a_n = a₁ * q^(n-1), где a_n - n-й член прогрессии, a₁ - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, n - номер члена прогрессии. С помощью этой формулы можно легко находить любой член геометрической прогрессии при известных значениях a₁, q и n.

Свойства геометрической прогрессии:

• Если знаменатель прогрессии q > 1, то прогрессия будет возрастающей, если 0 < q < 1, то прогрессия будет убывающей.
• Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: S_n = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q), где S_n - сумма первых n членов прогрессии.
• Если |q| < 1, и количество членов стремится к бесконечности (n → ∞), то сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна S = a₁ / (1 - q).

Пример:

Рассмотрим геометрическую прогрессию с первым членом a₁ = 2 и знаменателем q = 3. Найдем 5-й член данной прогрессии. Подставив значения в формулу, получаем: a₅ = 2 * 3^(5-1) = 162. Таким образом, 5-й член этой прогрессии равен 162.

Заключение:

Геометрическая прогрессия широко используется в математике, физике, экономике и других науках для моделирования различных процессов и явлений. Понимание основных свойств и формул геометрической прогрессии позволяет эффективно решать задачи, св