Квадратные уравнения Квадратным уравнением называют уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b$ и $c$ — коэффициенты, причём $a \neq 0$. Решение квадратного уравнения — это нахождение значений переменной $x$, при которых уравнение становится верным равенством. Существует несколько способов решения квадратных уравнений: Разложение левой части на множители. Этот способ применяют для решения уравнений, которые можно разложить на квадратные множители. Например, уравнение $x^2 - 16x + 63 = 0$ можно разложить следующим образом: $x^2 – 7x – 9x + 63 = x(x-7) – 3(x-7)= (x-7)(x-3)$. Таким образом, мы получаем произведение двух скобок, которое равно нулю. Это значит, что либо $x-7=0$, либо $x-3=0$. Решая эти два уравнения, получаем корни исходного уравнения: 7 и 3. Метод выделения полного квадрата. Для этого способа необходимо преобразовать квадратное уравнение таким образом, чтобы в левой части был полный квадрат суммы или разности. Например, решим уравнение $4x^2 + 24x + 36 = 0$. Сначала выделим полный квадрат: $(2x)^2 + 2 2x 6 + 6^2 = (2x+6)^2$. Теперь уравнение примет вид: $(2x+6)^2 = 0$. Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения и получаем ответ: $2x + 6 = 0; x = -3$. Решение через дискриминант. Самый распространённый способ решения квадратных уравнений. Для нахождения корней уравнения необходимо вычислить дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня, если равен нулю, то один корень, а если меньше нуля, то корней нет. Например, найдём корни уравнения $5x^2-8x+3=0$. Здесь $a=5, b=-8, c=3$. Подставляем значения в формулу дискриминанта: $D=(-8)^2-453=64-60=4$. Дискриминант больше нуля, следовательно, у уравнения два корня. Найдём их по формулам: $x_1=\frac{8+4}{25}=\frac{12}{10}=1,2$ и $x_2=\frac{8-4}{25}=\frac{4}{10}=0,4$. Ответ: 1,2 и 0,4. Для закрепления материала рассмотрим ещё один пример. Решим квадратное уравнение $3x^2+2x-1=0$. Вычислим дискриминант: $D=(2)^2-43(-1)=4+12=16$. Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня: $x_1=\frac{-2+\sqrt{16}}{23}=\frac{-2+4}{6}=-\frac{2}{3}$ и $x_2=\frac{-2-\sqrt{16}}{2*3}=\frac{-2-4}{6}=\frac{-6}{6}=-1$. Ответ: -1 и -2/3. Важно помнить, что квадратные уравнения могут иметь не более двух корней. Если же в процессе решения получается корень, который не удовлетворяет исходному уравнению, значит, он посторонний и его нужно отбросить. Решение квадратных уравнений — важный навык, который пригодится не только на уроках алгебры, но и в повседневной жизни. Умение решать квадратные уравнения поможет вам лучше понимать математические задачи и находить ответы на вопросы, связанные с квадратными уравнениями.