Наибольший общий делитель (НОД)

Определение

Наибольший общий делитель — это наибольшее число, на которое можно разделить все заданные числа без остатка.

Пример

Пусть у нас есть два числа: 12 и 18. Их общие делители: 1, 2, 3, 6. Наибольший общий делитель равен 6.

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чисел, нужно:

1. Разложить числа на простые множители.
2. Выписать все общие множители.
3. Найти произведение общих множителей.

Разложение на простые множители — это представление числа в виде произведения простых чисел.

Простое число — это число, которое делится без остатка только на единицу и на само себя. Например: 2, 5, 7, 11 и т. д.

Алгоритм нахождения НОД

1. Разложите каждое число на простые множители.Например:

   • 48 = 2 2 2 2 3;
   • 36 = 2 2 3 * 3.

2. Вычеркните из разложения первого числа те множители, которые не входят в разложение второго числа.В нашем примере это будет число 3.

3. Найдите произведение оставшихся множителей.Получим: 2 2 2 = 4. Это и будет наибольший общий делитель чисел 48 и 36.

Если у вас три числа, то алгоритм будет такой же, но вам придётся поработать с большим количеством чисел.

Возможно, вам будет проще понять алгоритм на примере. Тогда рассмотрим ещё один пример.

Найдём наибольший общий делитель чисел 16 и 32.

1. 16 = 1 2 2 2 2.
2. 32 = 1 2 2 2 2 * 2.
3. НОД (16, 32) = 1 2 2 * 2 = 8.

Нужно учитывать, что если одно из чисел делится на другое без остатка, то это число и будет наибольшим общим делителем.

Теперь давайте потренируемся и найдём НОД для чисел 30 и 42.

1. 30 = 2 3 5.
2. 42 = 2 3 7.
3. Общими множителями будут числа 2 и 3. Их произведение равно 6. Значит, НОД (30, 42) = 6.

Не всегда получается сразу увидеть, какие числа общие. Для этого нужно проявить терпение и внимательность.

Давайте найдём наибольший общий делитель чисел 8, 12, 24 и 30.

Сначала разложим числа на простые множители:

• 8 = 2 2 2;
• 12 = 2 2 3;
• 24 = 2 2 2 * 3;
• 30 = 2 3 5.

Общими простыми множителями являются числа 2, 2 и 3. Перемножим их и получим 4.Значит, НОД (8, 12, 24, 30) = 4.

Таким образом, мы рассмотрели алгоритм нахождения наибольшего общего делителя, потренировались в его использовании и научились находить НОД у нескольких чисел.

Этот навык пригодится вам, когда вы будете работать с дробями.

Вопросы для самопроверки

• Как найти наибольший общий делитель двух чисел?
• Что такое простые числа?
• Какие числа называются общими делителями?
• Может ли наибольший общий делитель быть больше одного из исходных чисел?

Дополнительные задания

Найдите наибольший общий делитель:

• чисел 21 и 77;
• чисел 33, 99 и 111;
• чисел 14, 21, 35 и 49.

Ответы:

• НОД (21, 77) = 7;
• НОД (33, 99, 111) = 3;
• НОД (14, 21, 35, 49) = 7.

Это лишь некоторые примеры заданий, которые помогут вам закрепить материал.

В заключение можно сказать, что нахождение наибольшего общего делителя — это важный навык, который пригодится не только в математике, но и в повседневной жизни. Умение находить НОД поможет вам лучше понимать устройство мира и решать различные задачи.